rappelsdes règles de calcul pour les sommes et les différences suivi de quatre exercices cinquième. Ile mathématiques > maths 5 ème > Nombres relatifs. Commentpasser d'une fraction à un nombre entier ? Une fraction est égale à un nombre entier quand le numérateur est un multiple du dénominateur . La méthode trouvée en classe : Pour savoir si une fraction est égale à un nombre entier , il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur : Exemple d'une fraction égale à un nombre entier . Vouspouvez utiliser une formule simple pour additioner les nombres d'une plage (un groupe de cellules), mais la fonction SOMME est plus facile à utiliser lorsque vous travaillez avec plusieurs nombres. Par exemple, =SOMME(A2:A6) est moins susceptible d'avoir des erreurs de saisie que =A2+A3+A4+A5+A6. Voici une formule qui utilise deux plages de cellules: engros de facon universelle: de 0,5 a 3,5: Declare somme = 0 For i 0.5 to 3.5 incrémentation 0.5 somme = somme + i End for. entiers de 0 a 5: Declare somme = 0 For i 0 to 5 incrémentation 1 somme = somme + i End for. biensur à recoder dans ton language. 5. Mathématiques3e. Attention : un carré ne se distribue pas sur une somme. Dans cette vidéo, revois cette formule et son application avec Fanny, professeure de maths. Cette identité remarquable est la première des trois identités remarquables à connaître par cœur. Indispensable en classe de 3 e ! Commentcalculer 2/3 d'une somme? Posté par said le le 01/11/2016 à 10:12:48 . Pour calculer le 2/3 d'un nombre, il faut multiplier ce nombre par 2 et diviser le produit par 3. Exemple: Calculons le 2/3 de 36. $36 * \frac{2}{3} = \frac{36 * 2}{3} = 24$ Ajouter une réponse . Votre message :: Votre prénom: Votre email:: A voir aussi : BAC Côte d'Ivoire 2017: Sujet de . Ceci est un résumé sur les différentes façons de compter des cellules et de faire la somme de leur contenu en fonction du résultat de certains tests. NB La fonction NB compte le nombre de cellules qui contient des nombres et ignorera les autres. Par exemple les cellules contenant du texte seront ignorées. NBVAL La fonction NBVAL compte le nombre de cellules quel que soit leur contenu du texte, des nombres, des erreurs, des valeurs logiques ou des formules . Elle ignore les cellules vides. La fonction compte le nombre de cellules vides. SOMME La fonction SOMME fait la somme des nombres contenus dans les cellules spécifiées. Voir ci-dessous l'utilisation de cette fonction en combinaison avec une condition. La fonction renvoie les résultats NB, NBVAL ou SOMME pour des données filtrées, donc pour les données contenues dans des cellules, précédemment choisies grâce à un filtre. La fonction compte les éléments qui remplissent une condition unique. Par exemple ">4" compte les cellules de la plage A1A4 qui sont supérieures à 4. La fonction totalise les éléments qui vérifient une condition unique. Par exemple "=rouge"; B1B4 totalise les valeurs de la plage B1B4 qui correspondent à la valeur “rouge” dans la plage A1A4. BDNB, BDNBVAL, BDPRODUIT Les fonctions BDNB, BDNBVAL et BDSOMME agissent de la même façon que NB, NBVAL et SOMME, à cette différence près que les cellules comptées ou totalisées sont choisies en fonction d'une série de conditions désignée sous le vocable "critères de recherche". Par exemple, BDNBA1C5; 0; E6F7 compte le nombre de lignes de la plage A1C5 pour lesquelles les conditions figurant dans la plage E6F7 sont toutes vérifiées. Conditions dans la sélection des cellules Un moyen très simple de compter ou de totaliser en utilisant plusieurs conditions consiste à indiquer ces conditions dans une nouvelle ligne ou une nouvelle colonne. Par exemple A1A6 contient une liste de couleurs et B1B6 une liste de tailles, il est possible d'entrer dans la cellule D1 la formule =A1="rouge", qui renvoie VRAI ou FAUX selon que le contenu de la cellule A1 est rouge ou pas. Une alternative consiste à entrer dans la cellule D1 la formule =ETA1="rouge"; B1="grand" ou =A1="rouge" ET B1="grand", qui renvoie VRAI si le contenu de la cellule A1 est rouge ET celui de la cellule B1 est grand et qui renvoie FAUX dans les autres cas. Copier et coller cette formule dans les cellules de la plage D2D6 permet d'obtenir une série de cellules contenant VRAI si les conditions sont vérifiées et FAUX autrement. En terme de calcul numérique, VRAI est traité en tant que 1, et FAUX est traité en tant que 0. Aussi, saisir =SOMMED1D6 totalisera simplement ces 1 et ces 0, et renverra le total des éléments qui sont à la fois rouge ET grand. En fait, puisque VRAI et FAUX valent 1 et 0, le recours à la fonction ET n'est pas indispensable - dans D1 il est possible de simplement écrire =A1="rouge"*B1="grand", et copier/coller cette formule dans la plage de cellules D2D6. Maintenant, supposons que C1C6 contient une liste de poids de ces articles, et que nous souhaitons connaître le poids total de tous les articles grand rouge. En D1 nous écrivons =A1="rouge"*B1="grand"*C1, et effectuons un copier/coller dans la plage de cellules D2D6. D1 contiendra le poids mentionné en C1 si les conditions sont vérifiées et zéro autrement et ainsi de suite pour D2D6. Ainsi =SOMMED1D6 nous donnera maintenant le poids total. D'une autre manière, il est possible de remplir la plage D1D6 avec une formule de matrice. En D1, on peut écrire =A1A6="rouge"*B1B6="grand"*C1C6, et valider en pressant simultanément Ctrl+Maj+Entrée. Toutes les cellules dans la plage D1D6 affichent maintenant les poids souhaités, comme précédemment. SOMMEPROD La fonction SOMMEPROD peut être utilisée pour effectuer les comptages et les totalisations de la section précédente, sans avoir à recourir à des colonnes supplémentaires. Il est nécessaire de comprendre les formules matricielles pour comprendre cela. L'exemple de totalisation de la section précédente, A1A6="Rouge", B1B6="grand" et C1C6 peut être traité comme 3 matrices séparées, non affichées et calculées de manière interne. =SOMMEPRODA1A6="Rouge"; B1B6="grand"; C1C6 va multiplier les éléments correspondants des matrices mentionnées et renvoyer leur somme, à savoir A1="Rouge"*B1="grand"*C1 + A2="Rouge"*B2="grand"*C2 + ... Ceci donne à nouveau le poids total, sans avoir recours à une colonne supplémentaire. Notez que les formules SOMMEPROD sont simplement entrées en pressant la touche Entrée – elles ne nécessitent pas la combinaison Ctrl+Maj+Entrée, même si elles mettent en œuvre les matrices. Il est également nécessaire d'avoir conscience du fait que les calculs portant sur des matrices de grande taille nécessitent beaucoup de temps processeur et sont susceptibles de ralentir la feuille de calcul. SOMME avec des formules matricielles Une alternative à SOMMEPROD est d'utiliser la fonction SOMME. L'exemple précédent serait rédigé =SOMME A1A6="Rouge"*B1B6="grand"*C1C6 et saisit comme une formule matricielle en pressant Ctrl+Maj+Entrée. Comme avec SOMMEPROD, ceci agit en multipliant entre eux les éléments correspondants des matrices et en renvoyant leur somme. Le pilote de données Une autre approche des sommes et calculs conditionnels consiste à recourir au Pilote de données et générer une table interactive, dans laquelle les données peuvent être arrangées et résumées de différentes façons. Trucs et Astuces Vérifiez les paramètres En manipulant du texte avec certaines fonctions comme le résultat obtenu peut dépendre des réglages effectués dans la page menu Outils > Options >LibreOffice Calc > Calcul. Si les réglages de l'utilisateur sont incorrects, les résultats obtenus peuvent, de ce fait, être faux. Une solution peut consister à inclure, en haut de la feuille de calcul, un contrôle de l'exactitude des réglages. Par exemple =SIESTERRCHERCHE".";"a";"ERREUR veuillez autoriser les caractères génériques dans les formules";"" affichera un message d'erreur si les caractères génériques dans les formules ne sont pas autorisés. Un autre exemple – dans la cellule A3 saisissez le texte Vérification Dans la cellule A4 saisissez ="Les expressions régulières sont "&SI "activées"; "désactivées" Dans la cellule A5 saisissez ="L'option exactitude comme affiché est "&SI "activée"; "désactivée" ou mieux encore, utilisez des messages d'erreurs appropriés. Trucs et Astuces Valeurs entre deux dates Les dates sont stockées en interne comme des nombres et peuvent donc être comparées facilement. Par exemple pour compter le nombre de cellules dans A1A6 entre deux dates vous pouvez utiliser =SOMMEPRODA1A6>DATEVAL"5 nov. 06"; A1A6> la somme des cellules sélectionnées '- Dim MaSomme As Single Dim UneCellule As Range MaSomme = 0 For Each UneCellule In If IsNumeric = True Then MaSomme = MaSomme + Next UneCellule MsgBox MaSomme End Sub Attention Notez la condition If IsNumeric = True Then utilisée dans le code. Elle sert à prévenir que le code crashe au cas où une ou plusieurs des cellules dans la sélection contient une valeur non code suivant additionne les cellules au choix dans une colonne déterminéeSub SommeEnVBA_1b 'par 'calcul de somme en VBA utilisation de boucles '>> la somme de x cellules d'une colonne donnée '- Dim MaColonne As Single Dim MaPremiereLigne As Single Dim MaDerniereLigne As Single Dim UneLigne As Single Dim MaSomme As Single MaColonne = 3 '= colonne "C" MaPremiereLigne = 2 MaDerniereLigne = 1000 MaSomme = 0 For UneLigne = MaPremiereLigne To MaDerniereLigne If IsNumericCellsUneLigne, MaColonne.Value = True Then MaSomme = MaSomme + CellsUneLigne, MaColonne.Value Next UneLigne MsgBox MaSomme End SubCette méthode vous permet de changer dynamiquement les plages à additionner vous pouvez faire une boucle sur les lignes comme dans l'exemple plus haut que vous imbriquez dans une boucle sur les colonnes. Vous pourrez donc faire la somme, par exemple, de la 5ème à la 25ème ligne dans la 3ème à 15ème colonne… Et voici le code VBA pour illustrer cette SommeEnVBA_1c 'par 'calcul de somme en VBA utilisation de boucles '>> la somme d'une plage dynamique '- Dim MaPremiereColonne, MaDerniereColonne, UneColonne As Single Dim MaPremiereLigne, MaDerniereLigne, UneLigne As Single Dim MaSomme As Single MaPremiereColonne = 3 MaDerniereColonne = 15 MaPremiereLigne = 5 MaDerniereLigne = 25 MaSomme = 0 For UneColonne = MaPremiereColonne To MaDerniereColonne For UneLigne = MaPremiereLigne To MaDerniereLigne If IsNumericCellsUneLigne, UneColonne.Value = True Then MaSomme = MaSomme + CellsUneLigne, UneColonne.Value Next UneLigne Next UneColonne MsgBox MaSomme End SubMéthode 2 SOMME en VBA avec WorksheetFunctionLa deuxième méthode pour faire la SOMME en VBA que je vous propose repose sur la fonction SOMME d'Excel que VBA "emprunte" grâce à la méthode WorksheetFunction. Tout sur les WorksheetFunction en général dans ce tutoriel…Ici, comme on utilise la fonction empruntée d'Excel, elle se comporte exactement de la même manière. Les avantages la vitesse, la facilité 1 ou 2 lignes de code et la possibilité de combiner différentes plages sur la même Feuille ou même sur les Feuilles différentes en un seul ce que vous avez à faire c'est définir la plage à additionner par ex. Set MaPlage = Range"A1A5" et ensuite introduire cette plage dans la fonction SOMME d'Excel MaSomme = .Attention, VBA est exclusivement anglophone donc vous n'utilisez pas "somme" mais bien "sum"! Le code MaSomme = ne fonctionnera donc pas! Astuce les équivalents anglais de toutes les fonctions Excel sont disponibles dans la Liste de toutes les fonctions Excel.Et voici 3 exemples de la SOMME en VBA avec l'utilisation de WorksheetFunction…Pour commencer, la plus simple somme des cellules A2A600 Sub SommeEnVBA_2a 'par 'calcul de somme en VBA utilisation de WorksheetFunction '- Dim MaPlage As Range Dim MaSomme As Single Set MaPlage = Range"A2A600" MaSomme = MsgBox MaSomme End SubL'exemple suivant montre qu'il est possible de faire la somme des plages non contiguës se trouvant sur la même Feuille. Tout dépend de la définition de la plage à additionner ici Range"A2A600, B6B7"Sub SommeEnVBA_2b 'par 'calcul de somme en VBA utilisation de WorksheetFunction '>> pour une plage non contiguë '- Dim MaPlage As Range Dim MaSomme As Single Set MaPlage = Range"A2A600, B6B7" MaSomme = MsgBox MaSomme End SubEt voici le 3ème exemple qui montre que l'on peut additionner même les plages se trouvant sur des Feuilles différentes. Vous devez ajouter le nom de la Feuille à la définition de la plage ex. Set Plage_3 = Sheets"Feuil2".Range"F2F600".Attention, si vous ne définissez pas la Feuille explicitement, ce sont les plages de la feuille ACTIVE qui seront SommeEnVBA_2c 'par 'calcul de somme en VBA utilisation de WorksheetFunction '>> pour plusieurs plages se situant sur les Feuilles différentes '- Dim Plage_1, Plage_2, Plage_3, Plage_4 As Range Dim MaSomme As Single Set Plage_1 = Range"A2A600" Set Plage_2 = Range"D2D600" Set Plage_3 = Sheets"Feuil2".Range"F2F600" Set Plage_4 = Range"H2H5" MaSomme = Plage_2, Plage_3, Plage_4 MsgBox MaSomme End SubConclusionVoici donc une ou plutôt des manières simples pour calculer une somme en VBA. Ceci est un bon exemple de la flexibilité de VBA où, contrairement à d'autres langages comme Python, vous pouvez obtenir le même résultat de différentes manières. Cela vous donne la possibilité d'utiliser la manière qui convient le mieux à votre style mais également qui convient le mieux au cas précis sur lequel vous travaillez…Vous pouvez donc être assez créatifs en VBA – et je vous assure, avec le temps et l'expérience, la créativité vient toute seule!Pour aller plus loin en VBAEt pour finir, voici quelques autres tutoriels et articles qui pourraient vous être utiles…RECHERCHEV en VBAToutes les fonctions disponibles en VBAet aussi Toutes les fonctions Excel dont la plupart est disponible à VBA via WorksheetFunction tout comme la SOMME de ce tutoriel Macro-planning, rétroplanning, planning directeur, planning détaillé, diagramme de Gantt... Il existe une multitude de plannings. C'est parfois difficile de s'y retrouver et de savoir lequel utiliser dans quelle nous allons voir ensemble les différences entre un planning classique et un diagramme de Gantt, et je vais également vous expliquer dans cet article lequel choisir en fonction de votre vos ceintures, c'est parti !Un bref rappel des notionsAvant de rentrer dans le vif du sujet, voici 3 définitions rapides qu'il est important de connaître. Si vous n'êtes pas familier avec ces outils, je vous invite à les approfondir via les articles compagnons avant de continuer qu'un planning ? Le planning projet décrit les différentes actions à réaliser dans le temps, avec une date de début et une date de fin. Il fait également apparaître les phases principales du projet ainsi que les qu'un calendrier projet ?Le calendrier projet est un planning projet présenté sous le format d'un calendrier. Les tâches sont réparties par journée, et possèdent généralement un code couleur pour montrer leur appartenance à telle ou telle phase du aller + loin Consultez cet article pour savoir comment créer un calendrier projet en partant de qu'un diagramme de Gantt ?Le diagramme de Gantt est une représentation visuelle du planning projet dans le temps. Les tâches et phases sont affichées sous forme de barre horizontale, leur longueur indiquant la durée dans le temps. Les losanges représentent les jalons du projet, et les dépendances peuvent également aller + loin Consultez cet article pour découvrir en détails ce qu'est un diagramme de vs Calendrier vs Diagramme de GanttQuels sont les avantages et inconvénients du planning projet, du calendrier projet et du diagramme de Gantt ? Comment les différencier ? Et comment savoir quand les utiliser ?Voici un tableau récapitulatif pour vous permettre de mieux vous y projetCalendrier projetDiagramme de GanttUsageVisualiser les tâches et phases importantes d'un projetVisualiser le cadencement d'un projet dans le tempsVisualiser toutes les tâches de façon détaillée et la manière dont elles s'enchaînentAspectLibre, le plus souvent dans un fichier ExcelSous forme de calendrier traditionnelDiagramme à barres horizontales représentant les tâches, la longueur étant égale à la duréeDestinatairesMembres du comité de pilotage et DirectionComité de pilotage, Direction, équipe projetEquipe projet, comité projet, parties prenantesGranularité Niveau de détailsPlanning macro "simplifié"Planning macro "simplifié"Planning micro détailléFacilité de réalisationSimpleMoyenneComplexeFacilité d'utilisationSimpleSimpleComplexeAdapté au multi-projetDépend de la forme du planning, le plus souvent du chemin critiqueNonNonOuiVisibilité des dépendancesNonNonOuiVisibilité des buffersNonNonOuiVisibilité des chevauchements de tâchesNonNonOuiVisibilité du taux de progressionNonNonOuiComment et quand choisir entre un planning, un calendrier et un Gantt ?Planning, calendrier, diagramme de Gantt ? Votre cœur balance entre ces trois options et vous avez du mal à vous décider. Lequel serait le plus adapté à votre projet ?Mettons fin tout de suite à ce suspense insupportable, et analysons ensemble les cas d'utilisation pour ces trois types de situations où utiliser un planningVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande de privilégier le planning projet type macro-planning ou rétroplanning aux autres réalisé sous Excel1 Avoir un aperçu des dates et étapes-clés d'un projetPlus un planning est simple et épuré, plus il est ainsi un excellent moyen d'obtenir un aperçu des dates importantes sur un projet, ainsi que des jalons et des peut également apercevoir rapidement les dates de début et de fin des principales étapes du planning projet est parfait pour garder un œil sur le déroulé du projet, ou pour présenter le projet dans les grandes lignes aux parties prenantes ou à sa propre Visualiser le cadencement d'un projet dans le tempsIl permet également de visualiser concrètement comment les phases s'enchaînent entre fonction du niveau de granularité du planning, on peut y apercevoir des dates de début et de fin précises, ou alors raisonner en semaines ou en permet aux parties prenantes d'avoir une idée du déroulement du projet, et de valider ce cadencement par rapport à leurs propres contraintes Partager un planning simple à comprendre avec les parties prenantesL'un des plus gros avantages du planning projet est sa simplicité d'utilisation. On comprend immédiatement ce à quoi on a affaire et on lit intuitivement le planning sans avoir besoin d'une aide ce qui le rend parfait pour le partager avec les parties prenantes dans un mail ou lors du comité de Avoir une vision haute du projetIl permet également de maintenir une "vue hélicoptère" ou une vision haute du projet. En effet, le chef de projet peut ainsi visualiser le projet dans son ensemble sans être tenté de se concentrer sur le détail des tâches techniques à document est souvent utilisé dans les rapports d'avancement, ou pour suivre l'état d'avancement du projet au quotidien et en Réaliser et maintenir le planning simplementRéaliser un planning de qualité et le maintenir dans le temps, c'est compliqué et c'est vraiment consommateur en temps. parole de chef de projet !Si vous souhaitez éviter de passer plusieurs heures chaque semaine pour mettre à jour votre planning, je vous recommande vivement de réaliser un macro-planning ou un maintien quotidien sera l'affaire de quelques minutes cas de figure où choisir le calendrier projetVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande de dégainer votre plus beau calendrier projet réalisé avec l'application Asana1 Visualiser dates et tâches importantesLe calendrier projet est l'outil idéal pour visualiser les dates et les tâches importantes qui vont avoir lieu dans les prochains jours, semaines et tâche possède un code couleur qui permet de la relier à la phase d'un projet, et peut également posséder un indicateur de réalisation à faire, en cours, terminé ainsi que le nom de la personne à qui elle est Savoir quand les actions vont être réalisées et par quiContrairement au planning projet, le calendrier projet rentre un peu plus dans le détail du permet ainsi d'afficher pour chaque tâche qui en est responsable et quel est le statut actuel de la informations permettent aux parties prenantes ainsi qu'au chef de projet de pouvoir suivre au quotidien le déroulé d'un Partager un document simple à comprendre avec les acteurs projetL'un des plus gros avantages du calendrier projet est sa simplicité d'utilisation. Tout le monde sait se servir d'un calendrier, tout le monde comprend immédiatement comment le ce qui le rend parfait pour le partager avec les parties prenantes dans un mail ou lors du comité de pilotage, tout en évitant des discussions opérationnelles à cause d'une granularité trop fine comme le diagramme de Avoir une vision opérationnelle des prochaines semainesIl permet également de rentrer un peu plus dans le détail des actions à réaliser, contrairement au planning projet. Le calendrier projet apporte ainsi une vision opérationnelle sur les jours, semaines et mois à en fait donc également l'outil parfait en comité projet pour suivre l'avancement des tâches et discuter des prochaines Planifier une réunion projetEnfin, cet outil visuel permet également d'identifier rapidement les journées chargées et les journées où les intervenants sont disponibles, afin de programmer un atelier de travail ou encore un comité cas d'utilisation pour le diagramme de GanttVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande d'utiliser un diagramme de Gantt, bien qu'il s'agisse d'un planning demandant plus de temps de réalisation que les deux projet réalisé avec l'application ClickUp1 Obtenir une vision détaillée de tout le projetL'un des plus gros avantages d'un diagramme de Gantt est d'afficher de manière ultra détaillée toutes les tâches d'un projet, tous les jalons et toutes les cependant, plus votre projet est long et complexe, plus il contiendra de tâches, moins votre diagramme de Gantt complet sera vous recommande donc de le visualiser par phase, afin que la lecture reste agréable pour vous et les parties Visualiser avec précision l'enchaînement des tâchesIl permet également de montrer via des flèches quelles sont les dépendances entre les tâches, ainsi que les buffers les zones tampons pour absorber un retard, et les éventuels chevauchement entre plusieurs obtenez ainsi une compréhension fine du déroulement du projet, et de comment les actions s'enchaînent entre Afficher le chemin critique du projetSeul le diagramme de Gantt peut vous permettre de voir le chemin critique de votre projet. En quoi est-ce utile, me direz-vous ?Cela vous permet d'identifier la plus longue séquence ininterrompue de tâches sur votre projet. Autrement dit, le moindre retard sur l'une de ces tâches entraînera inévitablement un retard sur l'ensemble de votre savez ainsi à l'avance sur quels points porter votre Voir les écarts et anticiper la dérive des objectifsAutre point à mon sens très intéressant, la capacité quasi en temps réel de voir les écarts entre ce qui était prévu et ce qui est pouvez visualiser le taux de progression par phase, mais également par est utile, notamment pour anticiper la dérive des objectifs et le décalage incontrôlé dans le temps de votre Gérer plusieurs projets en parallèleEnfin, le diagramme de Gantt vous permet de gérer plus simplement plusieurs projets en vos projets font partie d'un même programme, vous pouvez même décider de tous les regrouper dans le même également utile lorsqu'on switche d'un projet à l'autre pour se rappeler dans les moindres détails les tâches en cours et à venir sur un projet, et où on en est logiciels pour réaliser des diagrammes de Gantt en ligne1 de Gantt réalisé avec l'application c'est un peu la boîte à outils parfaite du chef de projet. Vous trouverez dans cet outil tout ce qu'il faut pour gérer convenablement un projet et une équipe, et le diagramme de Gantt n'y fait pas dépendances et les jalons sont plus lisibles que sur la plupart des concurrents, et la prise en main est à des années lumière d'autres logiciels. C'est clairement mon coup de cœur !2 TeamGanttDiagramme de Gantt réalisé avec l'application TeamganttTeamgantt s'est spécialisé dans une chose, et il le fait bien les diagrammes de Gantt. Contrairement à d'autres logiciels qui proposent cette fonctionnalité mais qui n'est pas forcément des plus simples à utiliser, Teamgantt a été construit autour des diagrammes de Gantt. La version gratuite vous propose actuellement de travail sur 1 projet et 60 tâches, ce qui est plus que suffisant pour tester l'efficacité de ce logiciel dans la création d'un Asana + InstaganttDiagramme de Gantt réalisé avec le duo d'application Asana + InstaganttAsana est un logiciel bien connu pour gérer son temps et ses tâches. Il propose une vue chronologie efficace, mais pas autant efficace qu'un diagramme de s'est donc naturellement associé à Instagantt afin de créer en quelques clics des diagrammes de Gantt à partir des éléments renseignés dans WrikeDiagramme de Gantt réalisé avec l'application WrikeWrike fait partie des poids lourds des logiciels de gestion de projet, et propose naturellement la possibilité de créer ses propres diagrammes de Gantt. L'interface, bien que plus sommaire que certains des concurrents, est épurée et permet d'aller à l'essentiel sans être ClickUpDiagramme de Gantt réalisé avec l'application ClickUpClickUp est l'outil à tout faire c'est sa philosophie. Il propose donc naturellement de transformer une liste de tâches en diagramme de Gantt. L'outil est simple à utiliser, et on arrive vite à créer des Gantt de qualité ou de visualiser les buffers et le chemin critique du hyper flexible permet également de configurer ClickUp vraiment comme on le souhaite, et ça c'est un sacré plus selon moi. La manipulation de sommes, via le symbole sigma, repose sur un petit nombre de règles. Cet article a pour objet de les énumérer et d’en donner des exemples d’utilisation, sans aucune prétention à l’originalité. Pour vous entraîner à manier correctement cette écriture et les techniques associées, je vous suggère d’aller jeter un œil aux exercices accessibles depuis cette page. Pour commencer, interrogeons-nous sur l’intérêt de la notation 1 – Abandon des points de suspension En lisant la formule chacun comprend instantanément de quoi il retourne pour calculer cette expression, on doit ajouter les entiers naturels de 1 jusqu’à 10. L’usage des points de suspension ne semble pas constituer, en l’occurrence, un obstacle à la compréhension. Même chose pour On devine aisément qu’il s’agit de la somme des carrés des entiers de 1 à 25. Mais dans le cas de on ne voit pas, même après un certain délai de réflexion, ce que cachent les points de suspension. Pourtant, ces nombres n’ont pas été choisis au hasard. Ce sont les premiers termes de la suite définie par la formule où désigne la partie entière par défaut du réel En effet et ainsi de suite…On pourrait donc penser que les points de suspension peuvent être utilisés, à condition qu’il n’existe aucun doute quant à l’identité de la suite sous-jacente. Mais ce n’est pas aussi simple… Par exemple, si l’on pose pour tout entier les premiers termes de la suite sont Mais attention Donc, lorsqu’on écrit pourquoi ne s’agirait-il pas, après tout, de la somme des neufs premiers termes de la suite ? Ceci montre la nécessité d’une notation totalement explicite, qui élimine toute abandonne donc les points de suspension et on adopte la notation 2 – Le symbole ∑ Etant donnée une liste de nombres réels ou, plus généralement, complexes, on note pour désigner ce qu’on aurait noté jusque là . Cette formule se lit somme, pour variant de 1 jusqu’à n, de u indice k ». La symbole est l’indice de sommation. Il est essentiel de comprendre que la somme ne dépend absolument pas de Pour cette raison, ce symbole est qualifié de muet ». Concrètement, cela signifie qu’on peut le remplacer par n’importe quel autre symbole… qui ne soit pas déjà utilisé dans le contexte du calcul ! Par exemple, étant donnés et la somme peut être notée mais certainement pas puisque le symbole serait utilisé pour désigner deux choses différentes !! Revenons au cas général. Au lieu de la notation on peut utiliser l’une des deux variantes suivantes le symbole désignant l’ensemble des entiers compris entre 1 et n inclusivement. L’écriture se généralise facilement en où I est un ensemble fini et non vide et où, pour tout désigne un nombre complexe. Notons que, dans l’écriture rien n’indique la manière dont les termes sont additionnés. Mais c’est sans importance, puisque l’addition des nombres complexes est une opération commutative et associative. La commutativité permet de modifier l’ordre des termes sans affecter le total, tandis que l’associativité dit que les différents parenthésages possibles sont équivalents. Une manière plus aboutie d’exprimer l’équivalence des différents parenthésages est la l’on partitionne I en sous-ensembles ce qui veut dire que les sont non vides, deux à deux disjoints et que leur union est I, alors formule générale d’associativité Nous verrons à la section 7 une conséquence pratique importante de cette formule l’interversion de sommes doubles sur des domaines de sommation rectangulaires ou triangulaires. Ajoutons que, par convention, une somme de nombres complexes indexée par l’ensemble vide est nulle. Cette convention a le mérite de maintenir vraie la formule générale d’associativité, même si certains sous-ensembles sont vides. Passons maintenant aux règles utilisées en pratique pour manipuler des sommes. 3 – Séparer / Fusionner L’ordre des termes étant sans importance pour le calcul d’une somme, on voit que si et sont des nombres complexes quelconques, alors Les parenthèses sont recommandées, pour ne pas dire indispensables ! Par exemple tandis que, par défaut s’interprète en Mais revenons à la dernière égalité encadrée. Lorsqu’on la parcourt de gauche à droite, on dit qu’on sépare la somme en deux. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on fusionne les deux sommes en une seule. Il est nécessaire, pour la fusion, que les deux ensembles d’indices coïncident. Si tel n’est pas le cas, on peut éventuellement s’y ramener en effectuant une ré-indexation dans l’une des deux sommes je ne vous ai pas encore parlé de ré-indexation, mais nous verrons cela un peu plus loin cf. section 5. 4 – Développer / Factoriser La formule bien connue de distributivité se généralise sans effort simple récurrence pour donner ceci si et sont des nombres complexes, alors Lorsqu’on parcourt cette égalité de gauche à droite, on dit qu’on met en facteur dans la somme. Et lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, on dit qu’on développe, ou qu’on distribue sur la somme. Et attention à l’erreur du débutant pour avoir le droit de factoriser par encore faut-il que ce coefficient soit indépendant de l’indice de sommation. L’exemple qui suit est repris en détail dans la vidéo Calcul de Sommes, Episode 1. Si vous connaissez les propriétés des coefficients binomiaux, vous savez sans doute que pour tout couple d’entiers vérifiant Cette relation est appelée parfois formule du pion ». Un exercice classique consiste à demander le calcul de la somme Mettre en facteur dans cette somme serait monstrueux ! Il n’y a d’ailleurs, sous cette forme, rien à mettre en facteur. Mais en écrivant plutôt on peut factoriser par ce qui conduit à Pour finir, la somme des termes de la ème ligne du triangle de Pascal est égale à , donc 5 – Changer d’indice Changer d’indice dans ou ré-indexer une somme consiste simplement à en re-numéroter les termes. Par exemple, la somme peut s’écrire mais aussi ou encore Pour passer de la première écriture à la seconde, on pose et pour passer de la première à la troisième, on pose Ces exemples sont très simples on a ré-indexé la somme en décalant l’ancien indice d’une unité. On est parfois conduit à effectuer d’autres types de ré-indexation. Par exemple, si l’on considère et qu’on pose on obtient Les changements d’indice du type ou bien où l’entier est fixé sont assez fréquents. D’une manière plus générale, étant donnés deux ensembles finis et , si est bijective et si est une famille de nombres complexes indexée par alors On dit qu’on passe du membre de gauche à celui de droite en posant Voyons un exemple de ce mécanisme, en considérant un groupe fini et un morphisme de ce groupe vers le groupe des nombres complexes non nuls. Calculons la somme Si est le morphisme constant c’est-à-dire pour tout , alors . Et sinon, il existe tel que L’application étant bijective c’est ce qu’on appelle une translation du groupe , on peut effectuer dans la somme le changement d’indice défini par , ce qui donne et donc soit finalement En résumé 6 – Sommations télescopiques Etant donnés un entier et des nombres complexes l’expression se simplifie en Cela se comprend en écrivant explicitement les quelques premiers termes et les quelques derniers le calcul qui suit suppose On voit très bien que les termes se compensent deux à deux, à l’exception de et qui sont les deux “survivants” … On dit qu’une telle sommation est “télescopique”. Cette appellation fait sans doute référence à ce qui se passe lorsqu’on replie une lunette télescopique cf. figure ci-dessous seules les extrémités restent visibles ! La formule peut être justifiée proprement de deux façons soit par récurrence sur n,soit en séparant en deux sommes, puis en ré-indexant l’une d’elles. Les choses deviennent intéressantes lorsque la sommation n’apparaît pas, au premier coup d’œil, comme étant télescopique … Par exemple, si l’on pose pour tout entier On peut astucieusement écrire, pour tout Il est alors clair que Autre exemple, considérons pour tout En remarquant que, pour tout on voit que Dernier exemple, ajoutons les premiers termes de la suite de Fibonacci. On rappelle que la suite de Fibonacci est définie par les relations et Pour calculer explicitement la somme on peut simplement la ré-écrire Cette fois le télescopage » se fait, non pas entre un terme et son voisin immédiat, mais plutôt de deux en deux. Le plus simple, pour ne pas se prendre les pieds dans le tapis, consiste à écrire de sorte que soit finalement 7 – Intervertir deux sommes Considérons deux entiers ainsi que nombres complexes , avec et . Posons alors Comme expliqué à la section 2, cette notation a un sens, car peu importe l’ordre dans lequel les termes sont additionnés et peu importe le parenthésage utilisé. En particulier, l’ensemble peut être partitionné en lignes» ou bien en colonnes», comme suggéré par l’illustration ci-dessous Ceci conduit à la formule suivante, appelée formule d’interversion pour un domaine de sommation rectangulaire » Le cas d’un domaine de sommation triangulaire, est tout aussi important en exemple, si l’on considère on peut, à nouveau, sommer en lignes» ou bien en colonnes» Et voici la formule correspondante Donnons deux exemples de calcul faisant intervenir les formules et . Exemple 1 Etant donnés et , on pose Il est connu que Comment obtenir ces formules de façon naturelle » ? Une approche consiste à calculer de deux manières l’expression D’une part, la sommation est télescopique et d’autre part, d’après la formule du binôme Après interversion des sommes le domaine est rectangulaire et mise en facteur du coefficient binomial, on obtient d’où, en confrontant les égalités et , la formule de récurrence forte » Si des formules explicites sont connues pour chacune des sommes , , etc …, , alors cette égalité permet de calculer . Par exemple, connaissant les formules on obtient en appliquant ce qui précède avec c’est-à-dire d’où, après quelques petits calculs pas bien méchants Exemple 2 Pour tout entier , on note classiquement le n-ème nombre harmonique » Il existe une foule de choses à savoir au sujet de la suite , mais nous porterons notre attention sur la formule de récurrence suivante Elle se démontre à l’aide de Avec cette formule , on retrouve la divergence de la suite . En effet, si cette suite convergeait vers un réel , on aurait d’après le lemme de Cesàro et donc, en passant à la limite dans , il en résulterait que , ce qui est absurde ! Pour un exemple du même style, mais plus élaboré, voir le challenge 35 8 – Et pour les produits ? L’analogue du symbole pour représenter un produit est le symbole il s’agit de la lettre majuscule grecque pi ». Si sont des nombres réels ou complexes, leur produit est donc noté Ce symbole se manipule essentiellement de la même manière que le symbole . Par exemple, la formule de fusion / séparation s’écrit maintenant En particulier, si pour tout , cette égalité prend la forme l’erreur classique consistant à oublier l’exposant . Tout comme les sommes cf. section 6, les produits peuvent se télescoper. La formule de base est où sont tous supposés non nuls. Voyons pour terminer trois petits exemples de calculs faisant intervenir la notation Exemple 1 Pour tout et pour tout En effet, un produit de puissances d’un même nombre est égal à où désigne la somme des exposants. Or, nous savons que . Exemple 2 Posons pour tout entier et montrons que Il est facile de voir que, pour tout par exemple en remarquant que l’application est croissante sur . Il s’ensuit que d’où la conclusion. Exemple 3 Cherchons une expression simplifiée pour En calculant ceci pour de petites valeurs de , on trouve invariablement 1. On conjecture alors que , ce qu’on prouve par récurrence sans trop de problème non détaillé. Une autre façon d’aborder cette question consiste à écrire comme un produit double un produit de produits puis à intervertir les deux produits tout comme on sait intervertir deux sommes cf. section 7 ce qui prouve bien que . L’égalité repérée par un résulte d’une interversion sur un domaine triangulaire. 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